Antriebstechnik

Das Verhältnis von Fremdmasse zu Eigenmasse

Auslegung von Servoachsen
Prinzip eines Servoantriebssystems

JM – Massenträgheitsmoment des Motors
JA – Massenträgheitsmoment der Arbeitsmaschine
i – Getriebeübersetzungsverhältnis
ωM – Winkelgeschwindigket des Motors
ωA – Winkelgeschwindigket der Arbeitsmaschine
Unser Autor Hansjörg Jäggi sammelte in seiner Berufspraxis umfangreiches Know-how bei der Auslegung und Inbetriebnahme von Robotersteuerungen. Im diesem Artikel erläutert er seine Sicht auf die Vorgehensweise bei der Antriebsauslegung und gibt konkrete Empfehlungen zur Wahl von Getriebeübersetzung und Kupplungen sowie zur Parametereinstellung der Regelkreise. Es wird deutlich, dass Handhabungsgeräte und Roboter als mechatronisches System zu begreifen sind.

Bei der Auslegung von Servoachsen wird immer wieder das Verhältnis von Eigenmasse zu Fremdmasse erwähnt. Obwohl diese Wichtigkeit betont wird, konnte mir noch niemand die Hintergründe erklären. Häufig werden Schwingneigung und damit Instabilität erwähnt. In meiner Praxis sah ich noch nie einen Servoantrieb, der sich wegen Überschreitens des besagten Verhältnisses instabil verhalten hätte, obschon Massenverhältnisse von 1:50 bis 1:100 keine Seltenheit waren. Häufig traf ich jedoch Servoantriebe an, die motorenseitig überdimensioniert waren, nur damit das Massenverhältnis verbessert werden konnte.

Das Getriebe dient zur Anpassung von Motorendrehzahl und Motorendrehmoment an die Antriebsmaschine. Der Motor hat durch den Rotor eine Eigenmasse, die mit dem Massenträgheitsmoment JM beschrieben wird. Die Arbeitsmaschine, die an den Ausgang des Getriebes gekoppelt ist, wird mit dem Massenträgheitsmoment JA beschrieben und wird mit 1/i2 auf der Motorenseite transformiert. Aus dieser Beziehung folgt: Das optimale Getriebeübersetzungsverhältnis iopt ergibt sich aus der Wurzel der Massenverhältnisse JA/JM.

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iopt = √ JA/JM.

Mehrere Gründe sprechen für das Hinterfragen der Aussage: Durch Verringerung der Motormasse – und dadurch der Gesamtmasse, die beschleunigt und wieder abgebremst werden muss – ergibt sich eine Energieeinsparung. Die Servoachse lässt sich einfacher optimieren, weil die Einschränkung der optimalen Getriebeübersetzung wegfällt. Es gibt eine energetische Betrachtung mit dem Energieerhaltungssatz, wonach die durch den Motor eingespeiste Energie gleich groß sein muss wie diejenige, die das Getriebe an die Arbeitsmaschine abgibt. Mathematisch lässt sich herleiten, bei welchem Getriebefaktor das aufzuwendende Beschleunigungsmoment minimal wird. Diese Betrachtungsweise bei gleichbleibenden Massenträgheitsmomenten zeigt, dass beim Unterschreiten des optimalen Getriebefaktors von i = 10 das Beschleunigungsmoment viel stärker zunimmt als beim Überschreiten. Im gezeigten Beispiel verdoppelt sich das Beschleunigungsmoment erst bei einem Getriebeverhältnis von 30. Bei einem optimalem Getriebefaktor von i = 20 ist der Einfluss bei zunehmendem i nur noch gering.

Das mechanische Übertragungssystem

Eine andere Betrachtungsweise ist die des mechanischen Übertragungssystems. Bei kurzer, dicker Motorwelle und unelastischer Kupplung kann von einer starren Verbindung zwischen Motor und Getriebe ausgegangen werden. Das Massenträgheitsmoment des Getriebes kann motorenseitig dazuaddiert werden. Damit wird das mechanische Übertragungssystem von einem Drei- auf ein Zweimassensystem reduziert. JM und JA wirken als Speicher kinetischer Energie, die Elastizität der Verbindungswelle wirkt als Speicher potenzieller Energie. Bei Drehmomentänderungen im Motor oder in der Arbeitsmaschine wird das mechanische System zu Schwingungen angeregt. Die- se Schwingungen verlängern unnötig den Positionierzyklus oder verursachen unregelmäßige Oberflächen bei Fertigungsprozessen. Treten höherfrequente Schwingungen auf, kann es sogar zu Ermüdungsbrüchen führen.

In einem elastisch gekoppelten Zweimassensystem sind die Massenträgheitsmomente des Antriebsstranges ersatzweise in den zwei Trägheitsmomenten JM und JA auf der Motor- und Arbeitsmaschinenseite konzentriert und über eine als massenlos angenommene elastische Welle mit der Federkonstante CF und der Dämpfungskonstante Kd miteinander verbunden. Das Übertragungsverhalten kann man aus den Bewegungsgleichungen des Zweimassensystems ableiten:

MM - MÜ = JM * αM
MÜ - MA = JA * αA
MÜ = CFM - ϕA) + KdM - ωA)

Wird die Differentialgleichung aufgelöst, erhält man die Resonanzkreisfrequenz ω0 des Systems:
ω0 = √ (CF * (JM + JA)) / (JM * JA)

f0 = ω0 / (2 π)

Typische Werte der Resonanzfrequenzen von mechanischen Übertragungssystemen liegen bei Handhabungsgeräten und Industrierobotern bei vier bis 50 Hertz und bei Werkzeugmaschinen bei zehn bis 300 Hertz. Um keine kritischen Zustände eintreten zu lassen, muss dieser Frequenzbereich vermieden oder bei Übergangsprozessen schnell durchlaufen werden. Bei heutigen digitalen Antrieben lässt sich mit geeigneten regelungstechnischen Maßnahmen eine wirksame Schwingungsdämpfung im mechanischen System erreichen. Häufig enthält das Modell eines mechanischen Übertragungssystems mehr als zwei elastisch verkoppelte Massen. Daher treten auch mehrere Resonanzfrequenzen auf.

Einige mechanische Übertragungsglieder wie Kupplungen, Welle-Nabe-Verbindungen, Getriebe oder Riemenantriebe weisen ein Umkehrspiel auf. Beim Nulldurchgang des Drehmoments wechselt die treibende Zahnflanke. Dadurch öffnet sich kurzzeitig innerhalb des Spiels die mechanische Kopplung zwischen Motor und Arbeitsmaschine. Durch diese sogenannte Totzeit entstehen beim Schließen des Regelkreises erhebliche Drehmomentstöße. Daher ist in einem mechanischen Übertragungssystem immer mit einer Schwingneigung bei mehreren Resonanzfrequenzen zu rechnen.

Durch eine Fourieranalyse können die Bewegungsgesetze im Frequenzbereich dargestellt werden. Für den Antrieb ist ein stoß- und ruckfreier Betrieb optimal, der mit einer Sinus-(ähnlichen) Funktion angesteuert wird. Fällt keine Resonanzfrequenz mit der Frequenz der Sinusfunktion zusammen, wird das Übertragungssystem auch nicht zum Schwingen angeregt. Bei sehr kurzen Bewegungszyklen, zum Beispiel Pendelbewegungen beim Schweißen, können entsprechende Bandsperren parametriert werden. Hansjörg Jäggi

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